Lorsqu’on parle de trigonométrie, on pense généralement aux fonctions sinus, cosinus et tangente vues en 4ème et en 3ème pour calculer les longueurs et les angles d’un triangle.

Aujourd’hui, la calculatrice est irrémédiablement l’outil utilisé pour pouvoir appliquer ces trois fonctions. Mais jusqu’à la fin des années 1970, les collégiens ne possédaient pas encore de calculatrice et devaient alors utiliser des tables trigonométriques pour réaliser les calculs. 

Sommaire

L’histoire de la trigonométrie

Le terme trigonométrie est un assemblage de mot venant du grec « trigone » (triangle) et « metron » (mesure). Mais bien que ce terme soit formé à partir du mot triangle, la trigonométrie n’est pas, à l’origine, un outil pour calculer les mesures du triangle mais du cercle

C’est en Égypte et en Mésopotamie, 2 000 ans avant notre ère, que les aptitudes à la géométrie apparaissent, notamment suite aux constructions des pyramides.  Ce sont les babyloniens qui ont découvert la trigonométrie bien avant les Grecs, et plus précisément, les premières traces de tables de données astronomiques. Il faut savoir qu’au départ la trigonométrie est une géométrie appliquée à l’étude du monde, de l’univers et est indissociable de l’astronomie.  

L’héritage de ces tables données aux grecs contribuera à l’introduction du partage du cercle en 360°. Mais c’est à Hipparque de Nicée (astronome de l’Antiquité) qu’on attribue réellement les premières tables trigonométriques. Ces tables font correspondre l’angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle. 

La trigonométrie aujourd’hui : relation entre les angles de triangles rectangles et leurs côtés 

La trigonométrie est une partie des mathématiques permettant de faire un lien entre les mesures des angles des triangles rectangles et les longueurs des côtés de ces triangles.  Cette partie des mathématiques traite également des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente

Ce qu’est un angle en trigonométrie  

En géométrie un angle est une figure plane ou bien encore une portion de plan délimitée par deux demi-droites. L’angle est donc une partie du plan définie par deux demi-droites dont les points de départs sont superposés. 

Vulgairement, on peut dire que c’est l’écart entre deux droites qui se croisent, qui se coupent en un point. Mesurer un angle reviendrait donc à mesurer cet écart. 

Différents types d’angles en trigonométrie   

Angles adjacents

Angles qui ont le même sommet et qui ont un côté en commun. Ces angles doivent être situés de part et d’autre de ce côté commun. 

Angles adjacents en trigonométrie
Angles complémentaires

Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90° (donc est un angle droit). 

Angles complémentaires en trigonométrie
Angles complémentaires

On dit que deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180° (donc est un angle plat). 

Angles supplémentaires ou angle plat en trigonométrie
Angles opposés par le sommet

On admet que deux angles sont opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et si les côtés de l’un sont des demi-droites opposées aux côtés de l’autre

Angles opposés par le sommet en trigonométrie
Angles alternes-internes

Soit deux droites (d) et (d’) coupées par une droite sécante (c).  Deux angles sont alternes-internes entre eux s’ils ne sont pas adjacents et s’ils sont à la fois entre les deux droites (d) et (d’) et entre la sécante (c).

Angles alternes-internes en trigonométrie
Angles correspondants

Soit deux droites (t) et (u) coupées par une droite sécante (d).
Deux angles sont correspondants s’ils ne sont pas adjacents, s’ils sont du même côté au niveau de la droite sécante (d) et si l’un est situé entre les deux droites (t) et (u) et l’autre non

Angles correspondants en trigonométrie

A noter : 

  • Un angle peut être aigu : mesure entre (angle nul) et 90°, il est donc plus petit qu’un angle droit.  

ou

  • Un angle peut être obtus : mesure entre 90° et 180° (angle plat), il est donc plus grand qu’un angle droit. 
Angle aigu et angle obtus en trigonométrie

Mesurer un angle à l’aide d’un rapporteur 

Pour mesurer un angle on peut utiliser un rapporteur. Généralement, les rapporteurs sont gradués en degré avec une double graduation : de 0° à 180° de gauche à droite sur la partie extérieure ; et de 0° à 180° de droite à gauche sur la partie intérieure

Pour calculer un angle il suffit de placer le centre du rapporteur au sommet de l’angle. On fait coïncider un des côtés de l’angle avec le 0° d’une des graduations (intérieure ou extérieure). On peut alors lire la mesure de l’angle à l’aide de la graduation.

Rapporteur pour le calcul des angles

Mesurer un angle à l’aide des formules trigonométriques

Pour mesurer un angle on utilise les deux unités les plus utilisées qui sont :

  • Le Degré, noté ° : un jour quelqu’un a décidé de diviser le plan en 360 secteurs angulaires équivalents, ça a donné la mesure d’1°. 
  • Le Radian, noté rad : un tour complet correspond à 2π radians car le périmètre d’un cercle de rayon 1 est 2π. 

Le cercle trigonométrique

On appelle un cercle trigonométrique un cercle muni d’un sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre). 

Rappel : la longueur d’un cercle (périmètre) est égale à 2 x π x rayon = 2π car rayon = 1.

Considérons le cercle trigonométrique de centre O, et A et M deux points de ce cercle. Soit l la longueur de l’arc de cercle AM.

Cercle trigonométrique

La mesure en radians de l’angle AOM est donc donnée par la longueur I. 

Si M est en B alors la longueur de l’arc de cercle AB est π/2 (car π/2 = 2π/4). Par conséquent l’angle AOB a pour mesure π/2 radians. 

Remarque : La mesure d’un angle en radian et la mesure du secteur angulaire correspondant en degré, sont proportionnels :

mesure des angles proportionnelle pour le cercle trigonométrique

Mesure des angles dans un triangle rectangle

Les différentes formules de trigonométrie permettent :

  • De calculer les longueurs des côtés d’un triangle rectangle si on connait au préalable la longueur d’un côté ainsi que la mesure de deux angles. 
  • De calculer les mesures des deux autres angles du triangle (donc autres que l’angle droit) si on connait au préalable les longueurs de deux côtés. 
Sinus, Cosinus et Tangente

Pour cela, il faut connaitre les formules du sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle. 

Dans un triangle ABC rectangle en C, les formules sont les suivantes :

Formules trigonométrique du sinus, cosinus et tangente

Utilisons la trigonométrie pour résoudre cet exercice :

ABC est un triangle rectangle en C tel que l’angle B = 50° et CA = 4cm.  Quelle est la longueur du segment [BA] ?

Pour calculer le segment BA avec les connaissances apprises en 4ème, on pourrait utiliser la somme des angles d’un triangle, puis le cosinus, puis le théorème de Pythagore mais ce serait très long.
Avec une des formules de trigonométrie, on peut calculer la longueur BA directement et plus rapidement. 

Exercice pour l'application d'une formule trigonométrique

Dans le triangle ABC rectangle en C, on connait la mesure de l’angle B (50°), celui de l’angle C car c’est un angle droit (90°) et la longueur de son côté opposé [CA].  On cherche la longueur de l’hypoténuse [BA]. 

La formule reliant le côté opposé et l’hypoténuse est celle du sinus, il faut donc utiliser cette formule :

Formule du sinus pour un triangle rectangle

Les relations trigonométriques 

Les différentes fonctions trigonométriques (fonctions dont la variable est une mesure d’angle) telles les fonctions sinus et cosinus permettant de calculer un angle aigu, constituent des identités trigonométriques. Ces identités trigonométriques permettent de faire des relations entre elles. 

Voici deux formules de trigonométrie importantes à retenir :

Relations engendrées par les identités trigonométriques



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