Les mathématiques regorgent de divers théorèmes et il est parfois difficile de s’y retrouver ! Explorons l’un des plus importants théorèmes de l’histoire, le théorème de Thalès.

Sommaire

Le théorème de Thalès : un théorème qui fait de l’ombre aux plus grands 

Considéré comme l’un des sept sages de l’Antiquité, Thalès est à la fois mathématicien, ingénieur, philosophe et homme d’État mais son domaine de prédilection est l’astronomie. 

C’est lors de son premier voyage en Égypte que Thalès applique pour la première fois le théorème qui porte aujourd’hui son nom. Ce théorème lui permet ainsi de mesurer la hauteur de la grande pyramide de Kheops

Pour cela, il part de ce principe :

« Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. »

Thalès

C’est donc par une relation de proportionnalité que Thalès obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre

L’idée est la suivante :

« A l’instant où mon ombre sera égale à ma taille, l’ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur ». 

Thalès

Bien que Thalès ne soit pas le réel « inventeur » de ce théorème qui était déjà connu des babyloniens, il démocratisa ce théorème par sa découverte et son utilisation inédite pour le rendre aujourd’hui, connu de tous. 

Le théorème de Thalès permet donc de calculer des distances dans une configuration géométrique comportant des droites parallèles.

Ce théorème implique donc qu’il ne peut pas être utilisé pour les triangles rectangles. Si un triangle est rectangle, c’est qu’il ne possède pas de droites parallèles. Un triangle rectangle est une forme géométrique dans laquelle deux segments se coupent en un point (point d’intersection) formant un angle droit. Pour les triangles rectangles, il faut utiliser le théorème de Pythagore

Explication du théorème de Thalès 

L’utilisation du théorème de Thalès nécessite la présence de deux droites parallèles (qui ne se coupent jamais) coupées par deux droites sécantes (qui se coupent en un point). 

Le théorème est le suivant : Soit un triangle ABC, et une droite parallèle à (BC) qui coupe (AB) en M et (AC) en N.

D’après le théorème de Thalès : 

Formule du théorème de Thalès
Explication géométrique du théorème de Thalès

Ici on retrouve bien :  

  • Les droites (BM) et (CN) sécantes en A. 
  • Les droites (MN) et (BC) parallèles. 

Application du théorème de Thalès

Exercice théorème de Thalès

Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ?

  • Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A. 
  • D’une part : AC/AN = 5/8 = 0,625
  • D’autre part : AB/AM = 6/10 = 0,60

Donc AC/AN  ≠  AB/AM → les droites (BC) et (MN) ne sont donc pas parallèles d’après le théorème de Thalès. 

La réciproque du théorème de Thalès

Soient (BM) et (CN) deux droites sécantes en A. 
Si et seulement si :  AM/AB = AN/AC

et si les points A, M, B et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. 

Réciproque de Thalès

Exemple de mise en application de la réciproque  

Exercice pour l'application du théorème

Les droites (BE) et (CD) sont-elles parallèles ? 

  • Les droite (CB) et (DE) sont sécantes en A  
  • D’une part, AC/AB = 7/5 = 1,4
  • D’autre part, AD/AE = 3,5/2,5 = 1,4
  • Donc AC/AB = AD/AE
  • De plus, les points A, B, C et A, E, D sont alignés dans cet ordre

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BE) et (CD) sont parallèles

La réciproque du théorème de Thalès permet uniquement de montrer que deux droites sont parallèles. 

Démonstration du théorème par les aires de triangles 

Thalès a découvert ce théorème, mais c’est Euclide (mathématicien de la Grèce Antique) qui a imaginé la construction de ce théorème par les aires de triangles. On retrouve cette démonstration dans Les Eléments d’Euclide (traité mathématique et géométrique). 

Dans le triangle ci-dessous, on suppose BB’ et CC’ parallèles. 

On souhaite en déduire que BC/BA = B’C’/B’A. 

Démonstration par les aires d'un triangle

Comme deux triangles ont une même hauteur et une même base, on peut dire que :

BC/BA = AireBCB’ / AireABB’

Démonstration par les aires d'un triangle

De même pour les deux autres triangles. Deux triangles possèdent ici une même base et une même aire donc :

AireBCB’ / AireABB’ = Aire BC’B’ / Aire ABB’

Démonstration par les aires d'un triangle

Le rapport des aires de deux triangles ayant une même hauteur implique une base égale pour ces triangles. Ainsi, AireBC’B’ / Aire de ABB’ = B’C’/B’A. 

Démonstration par les aires d'un triangle

Démonstration de la réciproque du théorème de Thalès : 

>> Maintenant on suppose que BC/BA = B’C’/B’A 

>> Essayons d’en déduire que BB’ et CC’ sont parallèles.

On sait que : 

  • BC/BA = AireBCB’ / AireABB’
  • AireBC’B’ / Aire de ABB’ = B’C’/B’A. 

puisque les aires de deux triangles ayant même hauteur ont la même base.

On en déduit que : AireBC’B’ / Aire de ABB’ = B’C’/B’A = BC/BA = AireBCB’ / AireABB’

Ainsi, AireBC’B’’ = AireBCB’ 

Suite et fin de la démonstration par les aires

Comme les triangles BCB’ et BC’B’ ont la même base et la même aire, leurs troisièmes sommets sont sur une droite parallèle à leur base commune [BB’]. 

CC’ est donc bien parallèle à BB’.

Théorème des milieux 

Le théorème de Thalès n’est pas le seul pouvant être utilisé afin de connaître le parallélisme ou non de deux droites. 

Il existe un autre théorème : le théorème des milieux. 

D’après ce théorème :

« Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté ».

Les deux côtés du triangle doivent alors être égaux pour que cette droite soit parallèle

Théorème des milieux

Dans cet exemple on sait que :

  • I est le milieu de [AB], soit que [AI] = [IB]
  • J est le milieu de [AC], soit que [AJ] = [JC]

→ Les droites (BC) et (IJ) sont donc parallèles

Le parallélogramme et ses côtés opposés parallèles

En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère dont les segments diagonaux se coupent en un point. Ce point est le milieu du quadrilatère (polygone à quatre côtés). 

Un parallélogramme est donc un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles.

Parallélogramme et côtés opposés

Il existe plusieurs propriétés permettant de conclure qu’un quadrilatère est un parallélogramme. Nous citerons ci-dessous celles faisant référence au parallélisme de deux droites. 

“Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme”.

“Si  un  quadrilatère  est  un  parallélogramme,  alors  ses  côtés  opposés  sont  forcément parallèles  deux à deux”. 

Pour montrer que deux droites sont parallèles, on peut donc démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Pour reconnaître facilement un parallélogramme :

  1. Un parallélogramme prend généralement la forme d’un losange ou d’un carré “étiré”. 
  2. Lorsqu’on trace les diagonales de ce parallélogramme on voit apparaître quatre triangles à l’intérieur.
  3. Les angles opposés du parallélogramme (à calculer) sont généralement de même degré. Ainsi, leurs angles adjacents sont de même taille.

Théorème de Thalès : l’essentiel à retenir

  • Pour utiliser le théorème de Thalès, doivent être présentes obligatoirement deux droites sécantes en un point. 
  • Le résultat de chaque fraction calculée doit être identique pour parler de droites parallèles. 
  • Les droites parallèles peuvent également se situer aux extrémités des droites sécantes, comme ceci : 
Théorème de Thalès : droites parallèles

  • Deux triangles ayant une même base et une même hauteur possèdent une aire identique. 
  • Un triangle rectangle ne peut pas avoir deux droites parallèles. Il possède uniquement deux droites perpendiculaires. De même pour le triangle rectangle isocèle.


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