📐 ThĂ©orĂšme de ThalĂšs, un thĂ©orĂšme Ă  la portĂ©e de tous | Le Bon BinĂŽme

Les mathĂ©matiques regorgent de divers thĂ©orĂšmes et il est parfois difficile de s’y retrouver ! Explorons l’un des plus importants thĂ©orĂšmes de l’histoire, le thĂ©orĂšme de ThalĂšs.

Sommaire

Le thĂ©orĂšme de ThalĂšs : un thĂ©orĂšme qui fait de l’ombre aux plus grands 

ConsidĂ©rĂ© comme l’un des sept sages de l’AntiquitĂ©, ThalĂšs est Ă  la fois mathĂ©maticien, ingĂ©nieur, philosophe et homme d’État mais son domaine de prĂ©dilection est l’astronomie. 

C’est lors de son premier voyage en Égypte que ThalĂšs applique pour la premiĂšre fois le thĂ©orĂšme qui porte aujourd’hui son nom. Ce thĂ©orĂšme lui permet ainsi de mesurer la hauteur de la grande pyramide de Kheops

Pour cela, il part de ce principe :

“Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le mĂȘme que celui que la pyramide entretient avec la sienne.”

ThalĂšs

C’est donc par une relation de proportionnalitĂ© que ThalĂšs obtient la hauteur de la pyramide grĂące Ă  la longueur de son ombre

L’idĂ©e est la suivante :

A l’instant oĂč mon ombre sera Ă©gale Ă  ma taille, l’ombre de la pyramide sera Ă©gale Ă  sa hauteur”. 

ThalĂšs

Bien que ThalĂšs ne soit pas le rĂ©el “inventeur” de ce thĂ©orĂšme qui Ă©tait dĂ©jĂ  connu des babyloniens, il dĂ©mocratisa ce thĂ©orĂšme par sa dĂ©couverte et son utilisation inĂ©dite pour le rendre aujourd’hui, connu de tous. 

Le théorÚme de ThalÚs permet donc de calculer des distances dans une configuration géométrique comportant des droites parallÚles.

Ce thĂ©orĂšme implique donc qu’il ne peut pas ĂȘtre utilisĂ© pour les triangles rectangles. Si un triangle est rectangle, c’est qu’il ne possĂšde pas de droites parallĂšles. Un triangle rectangle est une forme gĂ©omĂ©trique dans laquelle deux segments se coupent en un point (point d’intersection) formant un angle droit. Pour les triangles rectangles, il faut utiliser le thĂ©orĂšme de Pythagore. 

Explication du thĂ©orĂšme de ThalĂšs 

L’utilisation du thĂ©orĂšme de ThalĂšs nĂ©cessite la prĂ©sence de deux droites parallĂšles (qui ne se coupent jamais) coupĂ©es par deux droites sĂ©cantes (qui se coupent en un point). 

Le théorÚme est le suivant : Soit un triangle ABC, et une droite parallÚle à (BC) qui coupe (AB) en M et (AC) en N.

D’aprĂšs le thĂ©orĂšme de ThalĂšs : 

Formule du théorÚme de ThalÚs
Explication géométrique du théorÚme de ThalÚs

Ici on retrouve bien :  

  • Les droites (BM) et (CN) sĂ©cantes en A. 
  • Les droites (MN) et (BC) parallĂšles. 

Application du théorÚme de ThalÚs

Exercice théorÚme de ThalÚs

Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallĂšles ?

  • Les droites (BM) et (CN) sont sĂ©cantes en A. 
  • D’une part : AC/AN = 5/8 = 0,625
  • D’autre part : AB/AM = 6/10 = 0,60

Donc AC/AN  â‰   AB/AM → les droites (BC) et (MN) ne sont donc pas parallĂšles d’aprĂšs le thĂ©orĂšme de ThalĂšs. 

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La réciproque du théorÚme de ThalÚs

Soient (BM) et (CN) deux droites sĂ©cantes en A. 
Si et seulement si :  AM/AB = AN/AC

et si les points A, M, B et les points A, N, C sont alignĂ©s dans le mĂȘme ordre, alors les droites (MN) et (BC) sont parallĂšles. 

RĂ©ciproque de ThalĂšs

Exemple de mise en application de la rĂ©ciproque  

Exercice pour l'application du théorÚme

Les droites (BE) et (CD) sont-elles parallĂšles ? 

  • Les droite (CB) et (DE) sont sĂ©cantes en A  
  • D’une part, AC/AB = 7/5 = 1,4
  • D’autre part, AD/AE = 3,5/2,5 = 1,4
  • Donc AC/AB = AD/AE
  • De plus, les points A, B, C et A, E, D sont alignĂ©s dans cet ordre

Donc d’aprĂšs la rĂ©ciproque du thĂ©orĂšme de ThalĂšs, les droites (BE) et (CD) sont parallĂšles

La rĂ©ciproque du thĂ©orĂšme de ThalĂšs permet uniquement de montrer que deux droites sont parallĂšles. 

DĂ©monstration du thĂ©orĂšme par les aires de triangles 

ThalĂšs a dĂ©couvert ce thĂ©orĂšme, mais c’est Euclide (mathĂ©maticien de la GrĂšce Antique) qui a imaginĂ© la construction de ce thĂ©orĂšme par les aires de triangles. On retrouve cette dĂ©monstration dans Les ElĂ©ments d’Euclide (traitĂ© mathĂ©matique et gĂ©omĂ©trique). 

Dans le triangle ci-dessous, on suppose BB’ et CC’ parallĂšles. 

On souhaite en dĂ©duire que BC/BA = B’C’/B’A. 

DĂ©monstration par les aires d'un triangle

Comme deux triangles ont une mĂȘme hauteur et une mĂȘme base, on peut dire que :

BC/BA = AireBCB’ / AireABB’

DĂ©monstration par les aires d'un triangle

De mĂȘme pour les deux autres triangles. Deux triangles possĂšdent ici une mĂȘme base et une mĂȘme aire donc :

AireBCB’ / AireABB’ = Aire BC’B’ / Aire ABB’

DĂ©monstration par les aires d'un triangle

Le rapport des aires de deux triangles ayant une mĂȘme hauteur implique une base Ă©gale pour ces triangles. Ainsi, AireBC’B’ / Aire de ABB’ = B’C’/B’A. 

DĂ©monstration par les aires d'un triangle

DĂ©monstration de la rĂ©ciproque du thĂ©orĂšme de ThalĂšs : 

>> Maintenant on suppose que BC/BA = B’C’/B’A 

>> Essayons d’en dĂ©duire que BB’ et CC’ sont parallĂšles.

On sait que : 

  • BC/BA = AireBCB’ / AireABB’
  • AireBC’B’ / Aire de ABB’ = B’C’/B’A. 

puisque les aires de deux triangles ayant mĂȘme hauteur ont la mĂȘme base.

On en dĂ©duit que : AireBC’B’ / Aire de ABB’ = B’C’/B’A = BC/BA = AireBCB’ / AireABB’

Ainsi, AireBC’B’’ = AireBCB’ 

Suite et fin de la démonstration par les aires

Comme les triangles BCB’ et BC’B’ ont la mĂȘme base et la mĂȘme aire, leurs troisiĂšmes sommets sont sur une droite parallĂšle Ă  leur base commune [BB’]. 

CC’ est donc bien parallùle à BB’.

ThĂ©orĂšme des milieux 

Le thĂ©orĂšme de ThalĂšs n’est pas le seul pouvant ĂȘtre utilisĂ© afin de connaĂźtre le parallĂ©lisme ou non de deux droites. 

Il existe un autre thĂ©orĂšme : le thĂ©orĂšme des milieux. 

D’aprĂšs ce thĂ©orĂšme :

“Si une droite passe par les milieux de deux cĂŽtĂ©s d’un triangle, alors elle est parallĂšle au troisiĂšme cĂŽtĂ©”.

Les deux cĂŽtĂ©s du triangle doivent alors ĂȘtre Ă©gaux pour que cette droite soit parallĂšle

ThéorÚme des milieux

Dans cet exemple on sait que :

  • I est le milieu de [AB], soit que [AI] = [IB]
  • J est le milieu de [AC], soit que [AJ] = [JC]

→ Les droites (BC) et (IJ) sont donc parallùles

Le parallélogramme et ses cÎtés opposés parallÚles

En gĂ©omĂ©trie, un parallĂ©logramme est un quadrilatĂšre dont les segments diagonaux se coupent en un point. Ce point est le milieu du quadrilatĂšre (polygone Ă  quatre cĂŽtĂ©s). 

Un parallélogramme est donc un quadrilatÚre ayant ses cÎtés opposés parallÚles.

Parallélogramme et cÎtés opposés

Il existe plusieurs propriĂ©tĂ©s permettant de conclure qu’un quadrilatĂšre est un parallĂ©logramme. Nous citerons ci-dessous celles faisant rĂ©fĂ©rence au parallĂ©lisme de deux droites. 

“Si un quadrilatĂšre a ses cĂŽtĂ©s opposĂ©s parallĂšles deux Ă  deux, alors c’est un parallĂ©logramme”.

“Si  un  quadrilatĂšre  est  un  parallĂ©logramme,  alors  ses  cĂŽtĂ©s  opposĂ©s  sont  forcĂ©ment parallĂšles  deux Ă  deux”. 

Pour montrer que deux droites sont parallĂšles, on peut donc dĂ©montrer qu’un quadrilatĂšre est un parallĂ©logramme

Pour reconnaßtre facilement un parallélogramme :

  1. Un parallĂ©logramme prend gĂ©nĂ©ralement la forme d’un losange ou d’un carrĂ© â€œĂ©tirĂ©â€. 
  2. Lorsqu’on trace les diagonales de ce parallĂ©logramme on voit apparaĂźtre quatre triangles Ă  l’intĂ©rieur.
  3. Les angles opposĂ©s du parallĂ©logramme (Ă  calculer) sont gĂ©nĂ©ralement de mĂȘme degrĂ©. Ainsi, leurs angles adjacents sont de mĂȘme taille.

ThĂ©orĂšme de ThalĂšs : l’essentiel Ă  retenir

  • Pour utiliser le thĂ©orĂšme de ThalĂšs, doivent ĂȘtre prĂ©sentes obligatoirement deux droites sĂ©cantes en un point. 
  • Le rĂ©sultat de chaque fraction calculĂ©e doit ĂȘtre identique pour parler de droites parallĂšles. 
  • Les droites parallĂšles peuvent Ă©galement se situer aux extrĂ©mitĂ©s des droites sĂ©cantes, comme ceci : 
ThéorÚme de ThalÚs : droites parallÚles
  • Deux triangles ayant une mĂȘme base et une mĂȘme hauteur possĂšdent une aire identique. 
  • Un triangle rectangle ne peut pas avoir deux droites parallĂšles. Il possĂšde uniquement deux droites perpendiculaires. De mĂȘme pour le triangle rectangle isocĂšle.


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